Рассмотрим два основных метода нахождения НОД двумя основными способами: с использованием алгоритма Евклида и путем разложения на простые множители. Применим оба метода для двух, трех и большего количества чисел.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Алгоритм Евклида для нахождения НОД
Алгоритм Евклида позволяет с легкостью вычислить наибольший общий делитель для двух положительных чисел. Формулировки и доказательство алгоритма Евклида мы привели в разделе «Наибольший общий делитель: определитель, примеры».
Суть алгоритма заключается в том, чтобы последовательно проводить деление с остатком, в ходе которого получается ряд равенств вида:
a = b · q 1 + r 1 , 0 < r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1
Мы можем закончить деление тогда, когда r k + 1 = 0 , при этом r k = НОД (a , b) .
Пример 1
64 и 48 .
Решение
Введем обозначения: a = 64 , b = 48 .
На основе алгоритма Евклида проведем деление 64 на 48 .
Получим 1 и остаток 16 . Получается, что q 1 = 1 , r 1 = 16 .
Вторым шагом разделим 48 на 16 , получим 3 . То есть q 2 = 3 , а r 2 = 0 . Таким образом число 16 – это наибольший общий делитель для чисел из условия.
Ответ: НОД (64 , 48) = 16 .
Пример 2
Чему равен НОД чисел 111 и 432 ?
Решение
Делим 432 на 111 . Согласно алгоритму Евклида получаем цепочку равенств 432 = 111 · 3 + 99 , 111 = 99 · 1 + 12 , 99 = 12 · 8 + 3 , 12 = 3 · 4 .
Таким образом, наибольший общий делитель чисел 111 и 432 – это 3 .
Ответ: НОД (111 , 432) = 3 .
Пример 3
Найдите наибольший общий делитель чисел 661 и 113 .
Решение
Проведем последовательно деление чисел и получим НОД (661 , 113) = 1 . Это значит, что 661 и 113 – это взаимно простые числа. Мы могли выяснить это до начала вычислений, если бы обратились к таблице простых чисел.
Ответ: НОД (661 , 113) = 1 .
Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители
Для того, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел методом разложения на множители, необходимо перемножить все простые множители, которые получаются при разложении этих двух чисел и являются для них общими.
Пример 4
Если мы разложим числа 220 и 600 на простые множители, то получим два произведения: 220 = 2 · 2 · 5 · 11 и 600 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5 . Общими в этих двух произведениях будут множители 2 , 2 и 5 . Это значит, что НОД (220 , 600) = 2 · 2 · 5 = 20 .
Пример 5
Найдите наибольший общий делитель чисел 72 и 96 .
Решение
Найдем все простые множители чисел 72 и 96 :
72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3
96 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 2 3
Общими для двух чисел простые множители: 2 , 2 , 2 и 3 . Это значит, что НОД (72 , 96) = 2 · 2 · 2 · 3 = 24 .
Ответ: НОД (72 , 96) = 24 .
Правило нахождения наибольшего общего делителя двух чисел основано на свойствах наибольшего общего делителя, согласно которому НОД (m · a 1 , m · b 1) = m · НОД (a 1 , b 1) , где m – любое целое положительное число.
Нахождение НОД трех и большего количества чисел
Независимо от количества чисел, для которых нам нужно найти НОД, мы будем действовать по одному и тому же алгоритму, который заключается в последовательном нахождении НОД двух чисел. Основан этот алгоритм на применении следующей теоремы: НОД нескольких чисел a 1 , a 2 , … , a k равен числу d k , которое находится при последовательном вычислении НОД (a 1 , a 2) = d 2 , НОД (d 2 , a 3) = d 3 , НОД (d 3 , a 4) = d 4 , … , НОД (d k - 1 , a k) = d k .
Пример 6
Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78 , 294 , 570 и 36 .
Решение
Введем обозначения: a 1 = 78 , a 2 = 294 , a 3 = 570 , a 4 = 36 .
Начнем с того, что найдем НОД чисел 78 и 294: d 2 = НОД (78 , 294) = 6 .
Теперь приступим к нахождению d 3 = НОД (d 2 , a 3) = НОД (6 , 570) . Согласно алгоритму Евклида 570 = 6 · 95 . Это значит, что d 3 = НОД (6 , 570) = 6 .
Найдем d 4 = НОД (d 3 , a 4) = НОД (6 , 36) . 36 делится на 6 без остатка. Это позволяет нам получить d 4 = НОД (6 , 36) = 6 .
d 4 = 6 , то есть, НОД (78 , 294 , 570 , 36) = 6 .
Ответ:
А теперь давайте рассмотрим еще один способ вычисления НОД для тех и большего количества чисел. Мы можем найти НОД, перемножив все общие простые множители чисел.
Пример 7
Вычислите НОД чисел 78 , 294 , 570 и 36 .
Решение
Произведем разложение данных чисел на простые множители: 78 = 2 · 3 · 13 , 294 = 2 · 3 · 7 · 7 , 570 = 2 · 3 · 5 · 19 , 36 = 2 · 2 · 3 · 3 .
Для всех четырех чисел общими простыми множителями будут числа 2 и 3 .
Получается, что НОД (78 , 294 , 570 , 36) = 2 · 3 = 6 .
Ответ: НОД (78 , 294 , 570 , 36) = 6 .
Нахождение НОД отрицательных чисел
Если нам приходится иметь дело с отрицательными числами, то для нахождения наибольшего общего делителя мы можем воспользоваться модулями этих чисел. Мы можем так поступить, зная свойство чисел с противоположными знаками: числа n и - n имеют одинаковые делители.
Пример 8
Найдите НОД отрицательных целых чисел − 231 и − 140 .
Решение
Для выполнения вычислений возьмем модули чисел, данных в условии. Это будут числа 231 и 140 . Запишем это кратко: НОД (− 231 , − 140) = НОД (231 , 140) . Теперь применим алгоритм Евклида для нахождения простых множителей двух чисел: 231 = 140 · 1 + 91 ; 140 = 91 · 1 + 49 ; 91 = 49 · 1 + 42 ; 49 = 42 · 1 + 7 и 42 = 7 · 6 . Получаем, что НОД (231 , 140) = 7 .
А так как НОД (− 231 , − 140) = НОД (231 , 140) , то НОД чисел − 231 и − 140 равен 7 .
Ответ: НОД (− 231 , − 140) = 7 .
Пример 9
Определите НОД трех чисел − 585 , 81 и − 189 .
Решение
Заменим отрицательные числа в приведенном перечне на их абсолютные величины, получим НОД (− 585 , 81 , − 189) = НОД (585 , 81 , 189) . Затем разложим все данные числа на простые множители: 585 = 3 · 3 · 5 · 13 , 81 = 3 · 3 · 3 · 3 и 189 = 3 · 3 · 3 · 7 . Общими для трех чисел являются простые множители 3 и 3 . Получается, что НОД (585 , 81 , 189) = НОД (− 585 , 81 , − 189) = 9 .
Ответ: НОД (− 585 , 81 , − 189) = 9 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Представления числа в виде произведения простых чисел называется разложением этого числа на простые множители.
Например, запись 110 = 2 · 5 · 11 говорит о том, что число 110 разложено на простые множители 2, 5 и 11.
Вообще разложить на простые множители можно всякое составное число причем при любом способе получается одно и тоже разложение, если не учитывать порядка множителей. Поэтому представления числа 110 в виде произведения 2 · 5 · 11 или произведение 5 · 2 · 11 есть, по существу, одно и тоже разложения числа 110 на простые множители.
Раскладывая числа на простые множители, используя признаки деления на 2, 3, 5 и др. вспомним способ записи разложения числа на простые множители. Разложим, например на простые множители число 720. Число 720 делится на 2. Значит, 2 есть один из простых множителей в разложении числа 720. Разделим 720 на 2. Число 2 пишется справа от знака равенства, а частное 360 – под числом 720. Число 360 делим на 2, получаем 180. Делим 180 на 2, получаем 90, делим 90 на 2, получаем 45, делим 45 на 3, получаем 15, делим 15 на 3, получаем 5. Число 5 простое, при делении его на 5 получаем 1. Разложение на множители закончено.
720 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5
Произведение одинаковых множителей принято заменить степенью: 720 = · 5. Такое представление числа 720 называют каноническим видом этого числа.
Разложения числа на простые множители используется при нахождении их наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
Найдём, например, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 3600 и 288.
Представим каждое из данных чисел в каноническом виде.
3600 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 = · · ; 288 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2· 3 · 3 = ·
В разложении на простые множители наибольшего общего делителя чисел 3600 и 288 должны войти всё общи простые множите, которые содержатся в разложениях данных чисел, причем каждый из них нужно взять с наименьшим показателем, с каким он входит в оба разложения. Поэтому в разложение наибольшего общего делителя чисел 3600 и 288 войдут множители и . Значит, D (3600? 288) = · = 144.
В разложении на простые множители наименьшего общего кратного чисел 3600 и 288 должны войти все простые множители, которые содержатся хотя бы в одном из разложений чисел 3600 и 288 причем каждый из них нужно взять с наибольшим показателем, входящим в оба разложения данных чисел. Поэтому в разложение наименьшего общего кратного чисел 3600 и 288 войдут множители , , 5. Значит,
К (3600, 288) = · · 5 = 7200.
Вообще чтобы найти наибольший общий делитель данных чисел:
2) Образуем произведение общих для всех данных чисел простых множителей, причем каждый из них берём с наименьшим показателем, с каким он входит во все разложения данных чисел;
3) Находим значение этого произведения – оно и будет наибольшим общим делителем данных чисел.
Чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел:
1) Представляем каждое данное число в каноническом виде;
2) Образуем произведение из всех простых множителей, находящихся в разложениях данных чисел, причем каждый берем с наибольшим показателем, с каким он входит во все разложения данных чисел;
3) Находим значение этого произведения – оно и будет наименьшим общим кратным данных чисел.
Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.
Нахождение путём разложения на множители
Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.
Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.
Пример 1. Найдём НОД (84, 90).
Раскладываем числа 84 и 90 на простые множители:
Итак, мы подчеркнули все общие простые множители, осталось перемножить их между собой: 1 · 2 · 3 = 6.
Таким образом, НОД (84, 90) = 6.
Пример 2. Найдём НОД (15, 28).
Раскладываем 15 и 28 на простые множители:
Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель - единица.
НОД (15, 28) = 1.
Алгоритм Евклида
Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.
Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.
Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.
Пример 1. Возьмём два числа 27 и 9. Так как 27 делится на 9 и 9 делится на 9, значит, 9 является общим делителем чисел 27 и 9. Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что 9 не может делиться ни на какое число, большее 9. Следовательно, НОД (27, 9) = 9.
В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:
- Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
- Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
- Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
- Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
- Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.
Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел 140 и 96:
1) 140: 96 = 1 (остаток 44)
2) 96: 44 = 2 (остаток 8)
3) 44: 8 = 5 (остаток 4)
Последний делитель равен 4 - это значит, что НОД (140, 96) = 4.
Последовательное деление так же можно записывать столбиком:
Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:
- Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
- Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
- Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.
Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел 140, 96 и 48. НОД чисел 140 и 96 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 4). Осталось найти наибольший общий делитель числа 4 и третьего данного числа - 48:
48 делится на 4 без остатка. Таким образом, НОД (140, 96, 48) = 4.
Билет № 45. Наименьшее общее кратное чисел. Его свойства и способы нахождения. Примеры.
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД(наименьший общий делитель)
Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД. Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.
Пример.
Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 .
Решение.
В этом примере a=126 , b=70 . Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126 , после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.
Найдем НОД(126, 70) , используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56 , 70=56·1+14 , 56=14·4 , следовательно, НОД(126, 70)=14 .
Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)=126·70:14=630 .
Ответ:
НОК(126, 70)=630 .
Пример.
Чему равно НОК(68, 34) ?
Решение.
Так как 68 делится нацело на 34 , то НОД(68, 34)=34 . Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)=68·34:34=68 .
Ответ:
НОК(68, 34)=68 .
Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b : если число a делится на b , то наименьшее общее кратное этих чисел равно a .
Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители
Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители. Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел .
Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b . В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).
Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7 . Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5 ), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7 . Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210 , то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050 .
Пример.
Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.
Решение.
Разложим числа 441 и 700 на простые множители:
Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7 .
Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 . Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7 ): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
Ответ:
НОК(441, 700)= 44 100 .
Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b , то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b .
Для примера возьмем все те же числа 75 и 210 , их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Ко множителям 3 , 5 и 5 из разложения числа 75 2 и 7 из разложения числа 210 , получаем произведение 2·3·5·5·7 , значение которого равно НОК(75, 210) .
Пример.
Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .
Решение.
Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3 . К множителям 2 , 2 , 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2 , 3 , 3 и 3 из разложения числа 648 , получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7 , которое равно 4 536 . Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536 .
Ответ:
НОК(84, 648)=4 536 .